空間站是如何繞地飛行的？《張朝陽的物理課》探討萬有引力下的運(yùn)動(dòng)

3月20日消息，3月18日，《張朝陽的物理課》第三十六期開播，搜狐創(chuàng)始人、董事局主席兼CEO張朝陽坐鎮(zhèn)搜狐視頻直播間，回歸經(jīng)典力學(xué)，推導(dǎo)空間站的飛行軌道等問題。

復(fù)習(xí)第一、第二宇宙速度 計(jì)算同步衛(wèi)星軌道半徑

為便于理解，在本次直播中張朝陽先帶網(wǎng)友復(fù)習(xí)了第一、第二宇宙速度的計(jì)算，并且介紹了同步衛(wèi)星的概念。為此，張朝陽先根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律F=ma寫出衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的方程：

張朝陽解釋道，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，其速度大小雖然沒有改變，但是速度的方向是在不斷變化的，因此這個(gè)物體具有加速度。首先，角速度是角度隨時(shí)間的變化率，而速度等于角速度與半徑的乘積：

他畫指示圖來進(jìn)行說明：

(張朝陽在直播中推導(dǎo)圓周運(yùn)動(dòng)加速度公式)

在一個(gè)很小的時(shí)間間隔上，速度的改變量指向圓心，它的大小等于速度乘以角度改變量。除以dt就可以得到加速度的公式：

將此加速度公式代回衛(wèi)星圓周運(yùn)動(dòng)方程，化簡(jiǎn)可得衛(wèi)星的速度：

G和M分別是萬有引力常數(shù)和地球質(zhì)量。隨后，他在白板上演示了如何通過“黃金代換公式”將G和M換成更常見的物理量。為此，張朝陽考慮了地球表面的萬有引力：mg=GMm/R^2，這里R表示地球半徑，m表示地球表面附近物體的質(zhì)量，g表示地球表面附近的重力加速度。于是有GM=gR^2。將這個(gè)結(jié)果代回衛(wèi)星速度公式就得到：

張朝陽介紹，第一宇宙速度就是地球表面附近的衛(wèi)星繞著地球做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度。此時(shí) r近似為R，于是得到第一宇宙速度公式：

這個(gè)速度的值是7.9km/s。而對(duì)于地球同步衛(wèi)星，其公轉(zhuǎn)周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，即其公轉(zhuǎn)角速度應(yīng)等于地球的自轉(zhuǎn)角速度。張朝陽將速度換成角速度乘以軌道半徑，于是得到：

代入地球自轉(zhuǎn)角速度、地表附近重力加速度、地球的半徑等數(shù)值，張朝陽算得同步衛(wèi)星軌道半徑約為42600 km。“所以，為了保證衛(wèi)星同步轉(zhuǎn)動(dòng)，其運(yùn)行的軌道半徑必須為四萬兩千多公里。” 張朝陽總結(jié)道。

接下來，張朝陽繼續(xù)介紹了第二宇宙速度。所謂第二宇宙速度，就是物體從地球表面出發(fā)逃逸到無窮遠(yuǎn)處至少所需的初速度。

他先考慮了物體沿徑向運(yùn)動(dòng)的情況。假設(shè)物體剛好以第二宇宙速度從地球表面沿徑向逃逸，到了無窮遠(yuǎn)處這個(gè)物體的速度必須是零，否則它的初速度就不是最低要求的速度了。這時(shí)候引力做的功剛好抵消掉物體的動(dòng)能，于是有：

于是得到第二宇宙速度公式：

這個(gè)速度大小是11.2 km/s。推導(dǎo)這個(gè)結(jié)果時(shí)考慮的是徑向運(yùn)動(dòng)，因此張朝陽提了一個(gè)問題，如果物體以這個(gè)速度從切線方向飛出，那它還能不能逃逸到無窮遠(yuǎn)處呢？他介紹，這個(gè)問題將在下一次課程直播中解答。

推導(dǎo)萬有引力下的能量守恒 解釋衛(wèi)星動(dòng)能勢(shì)能總和不變

隨后，張朝陽又進(jìn)行了萬有引力下的能量守恒定律的推導(dǎo)，揭示衛(wèi)星在引力場(chǎng)中的總能量由動(dòng)能和引力勢(shì)能兩部分組成，衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)期間總能量保持不變?？紤]到情況的普遍性，張朝陽使用了矢量分析的工具來進(jìn)行推導(dǎo)。當(dāng)物體在引力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)了一小段距離時(shí)，引力場(chǎng)做的功是：

其中矢量er是徑向單位矢量。張朝陽給網(wǎng)友們?cè)敿?xì)演示了如何對(duì)此式進(jìn)行化簡(jiǎn)：

于是萬有引力做的功可以化為：

又因牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律：

于是得出：

張朝陽解釋道，括號(hào)里邊的值就是總能量。在物體運(yùn)動(dòng)過程中，總能量的改變量為0，這就是引力場(chǎng)下的能量守恒定律?？偰芰勘磉_(dá)式中的第一項(xiàng)是物體的動(dòng)能，帶負(fù)號(hào)的第二項(xiàng)是它的引力勢(shì)能。

(張朝陽推導(dǎo)引力場(chǎng)下的能量守恒定律)

推導(dǎo)萬有引力下的衛(wèi)星軌跡 計(jì)算橢圓軌道時(shí)的極值距離

在地球引力下，衛(wèi)星是如何運(yùn)行的？張朝陽繼續(xù)進(jìn)行推演。首先，他引入了極坐標(biāo)，并作如下推導(dǎo)：

其中上標(biāo)的撇號(hào)表示對(duì)時(shí)間求導(dǎo)。該推導(dǎo)需結(jié)合張朝陽直播所畫的示意圖來理解。

(張朝陽推導(dǎo)所用圖示)

結(jié)合萬有引力下的牛頓第二定律：

對(duì)比徑向分量和角向分量立即得到：

于是r^2θ’是常數(shù)，張朝陽將其記為a。他解釋道，θ’是單位時(shí)間經(jīng)過的角度，r^2θ’/2就是衛(wèi)星連接地球中心的線段在單位時(shí)間內(nèi)掃過的面積，這個(gè)面積是一個(gè)常數(shù)，這就是開普勒第二定律。

利用這個(gè)常數(shù)可以消去角度對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，從而根據(jù)上面的第一個(gè)式子得到：

為求解這個(gè)方程，張朝陽引入了新的變量y=1/r，并且將對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)化為對(duì)角度的導(dǎo)數(shù)：

將這個(gè)結(jié)果代入上面關(guān)于r的方程立即得到：

他強(qiáng)調(diào)，這是一個(gè)很簡(jiǎn)單的方程，其通解為y=A cos(θ+θ0)+ GM/a^2，其中A>0。并且，可以重新選取角坐標(biāo)的原點(diǎn)使 θ0=0，將y代回到原形式1/r，可得：

張朝陽解釋，這正是極坐標(biāo)下橢圓、拋物線或者雙曲線的方程，也就是說衛(wèi)星的運(yùn)行軌跡只能是這三種曲線中的一種。據(jù)此，可以計(jì)算當(dāng)運(yùn)動(dòng)軌跡為橢圓時(shí)的近地點(diǎn)距離和遠(yuǎn)地點(diǎn)距離。軌跡上離地球最近的距離是1/(A+B)，最遠(yuǎn)的距離是1/(B-A)。

(張朝陽推導(dǎo)出衛(wèi)星的軌跡)

據(jù)悉，在下節(jié)課中，張朝陽將會(huì)就空間站軌道的穩(wěn)定性——當(dāng)運(yùn)行軌道受到干擾時(shí)，會(huì)發(fā)生怎樣的改變進(jìn)行推導(dǎo)解答。

截至目前，《張朝陽的物理課》已直播三十余期。張朝陽1986年從清華大學(xué)物理系畢業(yè)，并于同年考取李政道獎(jiǎng)學(xué)金赴美留學(xué)。1993年底在美國麻省理工學(xué)院（MIT）獲得博士學(xué)位，并繼續(xù)在MIT從事博士后研究，1996年回國創(chuàng)業(yè)。

這也是闊別物理20多年后，張朝陽重拾物理。從去年11月開啟第一節(jié)物理直播課，他先是從經(jīng)典物理學(xué)開始，科普了牛頓運(yùn)動(dòng)定律與能量動(dòng)量守恒原理等；而后從經(jīng)典物理的“兩朵烏云”說起，向近現(xiàn)代物理過渡，探討了由黑體輻射研究引出的維恩、瑞利-金斯、斯特潘、普朗克等系列公式。

此后的物理課程逐步進(jìn)入量子力學(xué)領(lǐng)域，從基礎(chǔ)的薛定諤方程、算符對(duì)易關(guān)系等理論內(nèi)容，到無限深勢(shì)阱、氫原子波函數(shù)，再到諧振子量子化、氣體定容比熱的溫度階梯等更加具體實(shí)用的案例。

據(jù)悉，除了《張朝陽的物理課》外，在直播方面，搜狐視頻正持續(xù)打造知識(shí)直播平臺(tái)，陸續(xù)邀請(qǐng)各領(lǐng)域的頭部播主入駐，進(jìn)行科普知識(shí)直播。

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